معادلات دیفرانسیل به زبان ساده + فیلم های آموزشی
امروزه ریاضیات نقش بسیار مهم و بارزی در بسیاری از علوم بازی می کند و کاربردهای بسیار زیادی دارد که یکی از این کاربردها، حل معادلات دیفرانسیلی است که در علومی مانند مهندسی، فیزیک، اقتصاد و… بکار می رود. جداً می توان گفت معادلات دیفرانسیل زبان اصلی بسیاری از علوم است، بنابراین حل این معادلات، کلیدی برای حل مسایل دیگر است که در سایر علوم به آنها پرداخته می شود و همیشه اولین نکته ای که با دیدن یک دستگاه معادلات دیفرانسیلی با آن مواجه هستیم، یافتن جواب و راه حل های آن است. در این راه روش های گوناگونی برای حل معادلات دیفرانسیلی مختلف دیده شده است که با طبقه بندی معادلات به انواع مختلف می توانیم روش های حل مخصوص به هر طبقه را پیدا کنیم.در ادامه این مطلب می خواهیم به صورت تخصصی به موضوع حل معادلات دیفرانسیل و انواع آن بپردازیم، پس در ادامه با ما همراه باشید.
معادلات دیفرانسیل چیست؟
در علم ریاضیات شکل و نوعی از معادله ی ریاضی وجود دارد که یک یا چند تابع مجهول در آن از یک یا چند کمیت و متغیر مستقل و همچنین مشتق های آن توابع تشکیل شده است. از معادله های دیفرانسیل می توانیم در جهت مدل سازی ریاضی برخی از پدیده های طبیعی استفاده کنیم. خیلی از قوانینی که در طبیعت مانند شیمی، زیست شناسی، ستاره شناسی و فیزیک وجود دارد می توانند ساده ترین بیان و فهم ریاضی خود را از زبان معادله دیفرانسیلی پیدا کنند.
معادلات دیفرانسیل کاربردهای متنوع و مهمی دارند که می توان به بررسی غلظت مواد شیمیایی، رشد جمعیت، سرعت حدی و مدارهای الکتریکی اشاره کرد. معادلات دیفرانسیلی در علم هندسه و همچنین در رشته های مهندسی مختلفی که در زمینه های متعددی وجود دارند کاربرد دارند. هرگاه که تغییرات چند تابع با خود یا متغیرهای خود رابطه ای داشته باشد می توانیم این پدیده را با معادله ی دیفرانسیل شبیه سازی کنیم.
بطور مثال در زمینه ی مکانیک می توانیم حرکت یک جسم را به وسیله ی مکان و سرعت آن در زمان های مختلفی تعریف کنیم و از معادلاتی مانند معادله ی نیوتن استفاده کنیم تا رابطه بین شتاب، سرعت، مکان و نیروهای مختلف وارد بر جسم را تشریح کنیم. در این شرایط می توان حرکت یک جسم را در ساختار معادله دیفرانسیل بیان کنیم که در آن یک مکان ناشناخته جسم می تواند تابعی از زمان باشد. مبحث مسائل و معادله های دیفرانسیل در علوم مختلفی کاربرد دارد که برای آشنایی کامل با آن باید از منابع یادگیری کاملی استفاده کنید و یکی از این مراجع آموزش های آنلاین فرادرس می باشد که توانسته است فیلم های آموزشی جامعی را برای تمامی مباحث ریاضی آماده و منتشر کند.
مقدمه ای بر تاریخ معادلات دیفرانسیل
یکی از افرادی که توانست در قرن ۱۹ میلادی روش مخصوص حل معادلات را آغاز و پایه گذاری کند شخصی به ماریس سفوس لی بود. که در ادامه ی کارهای ارزشمند او دانشمندان بزرگی مانند کارتان، فعالیت های او را تکمیل کردند که فعالیت های علمی این ریاضیدان هم اکنون هم یکی از موضوعات بسیار کاربردی و مورد استقبال دانشجویان و محققان ریاضی می باشد.
آقای لی توانست نشان دهد معادله دیفرانسیل معمولی داده شده باشد، گروه لی r-پارامتری از تبدیلات نقطه ای را بپذیرد مرتبه معادله یکی کاهش پیدا می کند از این جهت جواب های معادله دیفرانسیل کاهش یافته با یک انتگرال گیری جواب معادله دیفرانسیل معمولی اصلی را بدست می دهد و از طرفی اگر معادله دیفرانسیل معمولی داده شد گروه r-پارامتری از تبدیلات نقطه اثر بپذیرد و جبر لی با آن حل پذیر باشد مرتبه معادله r مرتبه کاهش می یابد که این کاهش مرتبه با ساختن ناورداهای دیفرانسیلی یا به وسیله متغیرهای استاندارد انجام می شود.
در ادامه دانشمندان دیگری مانند بیانچی از گروه های حل پذیر برای کاهش مرتبه سیستم معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول استفاده کردند. اما دانشمندان دیگری نیز با استفاده از فرم های دیفرانسیلی و فرم های کارتان، به یافتن تقارن هایمعادلات دیفرانسیل همت کردند، اما چیزی که به دنبال آن بودند نبود و آنها را قانع نمی کرد. در ادامه آنها یافتند که کلید تقارن ها استفاده از مشتقات لی است و به روشنی چگونگی کاربرد آنها در همه معادلات دیفرانسیلی را مشخص کردند.
معرفی فرمول های انتگرال برای معادلات دیفرانسیل
سعی خواهیم کرد فرمول های انتگرال مورد نیاز برای حل مسائل معادلات دیفرانسیلی را معرفی کنیم و باید بدانیم لازم است برای حل تمرینات معادلات دیفرانسیل، به فرمول های انتگرال و مشتق کاملا مسلط شویم. در خیلی از موارد وقتی بخواهیم تمرینات و مسائل دیفرانسیلی را حل کنیم باید بتوانیم با تمامی تکنیک های مشتق گیری و همچنین انتگرال گیری آشنا باشیم. معادله دیفرانسیل انواع و اشکال مختلفی دارند که از جمله مهمترین آنها می توان به معادلات دیفرانسیلی برنولی، مرتبه اول و مرتبه دوم، ضمنی، معادله دیفرانسیل ناهمگن، چبیشف، بسل، معادله دیفرانسیل اویلر و… اشاره کرد.
برخی از این معادلات بصورت جداپذیر و تفکیک پذیر هستند که می توانیم عبارت های تابع X را در یک سمت و طرف معادلات نگه داشت و همچنین عبارت های شامل Y را به سمت دیگر معادله ببریم. این شیوه ی تفکیک متغیرها جهت حل مسائل معادله دیفرانسیل بصورت ساده و بسیار پرکاربرد قابل انجام است. حال بعد از اینکه تفکیک متغیرها انجام شد تنها نیاز است از طرفین معادله انتگرال گرفته شود تا بتوانیم پاسخ سوال و مسئله را بدست بیاوریم. پس از این جهت فرمول های انتگرال برای حل مسائل دیفرانسیل نیاز است.
برای اینکه بتوانیم جواب معادله های دیفرانسیل را براحتی بدست بیاوریم باید از فرمول های انتگرال گیری در این زمینه استفاده کنیم. برخی از مهمترین فرمول های انتگرال برای حل معادله های دیفرانسیل را در تصویر می توانید مشاهده کنید.
آشنایی با حل معادلات دیفرانسیل
پاسخ معادلات دیفرانسیلی می توانند خود یک تابع جدید باشند که با استفاده از روش های کامپیوتری مثل شیوه ی رونگه-کوتا و روش عددی مانند تقریبی می توانیم آنها را حل کنیم. از جمله روش های عددی دیگر می توان به روش هون، روش تیلور، روش میلن، روش هامینگ، اویلر، روش های طیفی و شبه طیفی، روش های شبکه ای اشاره کرد. وقتی پاسخ معادله ای وجود داشته و مقدار آن یکتا باشد و به شکل تابع مقدماتی قابل نمایش باشد، جهت یافتن آن از شیوه های حل تحلیلی می توانیم استفاده کنیم. البته باید دقت کرد که فقط برای ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل می توانیم جواب صریح بیابیم.
به این شکل می توانیم درک کنیم که همیشه یک روش و راه حل یکسان برای حل مسئله و معادله ی دیفرانسیل وجود ندارد. البته علت این امر آن است که هنوز تابحال راه حل مشخصی پیدا نشده یا اینکه چنین روشی وجود ندارد. به این دلیل معادلات را می توانیم از این نظر به چند دسته متفاوت تقسیم کنیم که برای هرکدام از آنها راه حلی پیدا شده است. برخی از معادله های دیفرانسیل در هیچ دسته ای قرار نخواهند گرفت و همچنین شیوه حل و پاسخی برای آنها وجو ندارد. در این بین می توانیم روش های نیمه تحلیلی را در اختیار داشته باشیم که از آنها می توانیم به روش تبدیل دیفرانسیل، آنالیز هموتوپی و تجزیه ی آدومیان اشاره کنیم.
پس برای پاسخ دادن به یک معادله ی دیفرانسیلی اول باید آن را بررسی کنیم که پاسخ یکتا و مشخصی وجود دارد یا خیر و بعد از آن بدانیم در چه دسته و شاخه ای قرار دارد. حال اگر برای دسته ی مورد نظر راه حلی از نوع تحلیلی باشد، از آن استفاده می کنیم ولی در غیر اینصورت می توانیم از روش های عددی کمک بگیریم. البته اگر پاسخ عددی برای جواب دادن به مسئله کافی باشد می توان از همان آغاز حل مسئله از روش عددی بهره ببریم.
انواع روش های حل معادلات دیفرانسیل
برای اینکه بتوانیم معادله های دیفرانسیل را حل کنیم می توانم حل آنها را با نوع معادله مرتبط بدانیم. بطور کل معادله های دیفرانسیل به ۲ دسته ی کلی تقسیم بندی می شوند که عبارتست از :
- معادله های دیفرانسیل معمولی : تابع پاسخ در این معادلات فقط دارای یک کمیت مستقل است.
- معادله های دیفرانسیل با مشتقات پاره ای : تابع پاسخ در این شکل از معادله های دیفرانسیل چندین کمیت مستقل دارند.
از نظر خطی یا غیر خطی بودن تابع پاسخ می توانیم هر دو دسته ی فوق را نیز تقسیم بندی کنیم. البته مرتبه ی معادله های دیفرانسیل مشتقات پاره ای یا معمولی را می توانیم بصورت کسری در نظر بگیریم که آنها به معادلات دیفرانسیل کسری معروف هستند. این شکل از معادله های دیفرانسیل شیوه های حل و پاسخ مختلفی دارند که در این زمینه به شیوه ی هوموتوپی، تکرار تغییرات و تجزیه ی آدومیان می توان اشاره کرد. در ادامه می توانید برخی از فرمول های برجسته انتگرال گیری را در تصویر زیر مشاهده کنید.
مبحث معادله های دیفرانسیل به عنوان درسی شناخته می شود که نه تنها باید مهارت های ریاضی خوبی در جهت حل مسائل انتگرال و مشتق داشته باشیم بلکه باید توانایی های ذهنی بالایی در هنگام پاسخ دادن به سوالات در اختیار داشته باشیم. باید قبل از هرچیزی با معادلات و مسائل دیفرانسیل آشنا باشیم و آنها را بشناسیم و برخی سوالات مطرح شده را تشخیص دهیم که از کدام نوع هستند و چه شیوه ی حلی برای آنها وجود دارد.
مثلا وقتی سوالی از معادله ی دیفرانسیل برنولی به شما داده شود شاید گفته نشود که از نوع برنولی است و دانشجویان خودشان باید آن را تشخیص دهند. و البته بعد از تشخیص نوع معادله باید بدانند برای هر مدل سوالی چه روش و شیوه ای جهت حل سوال و رسیدن به جواب مورد نیاز است. در جایی دیگر برای حل معادلات دیفرانسیل از نوع مرتبه اول همگن شیو ی حل مسئله به این شکل است که باید ابتدا رابطه ی y=ux را قرار دهیم و پس از آن با جدا کردن متغیرها نسبت به u و x مسئله را حل کنیم.
باید در نظر داشت که جهت حل مسائل دیفرانسیل ناهمگن نیز ابتدا باید جواب عمومی و پس از آن جواب اختصاصی را بدست بیاوریم. بطور مثال جهت پاسخ دادن به معادله های دیفرانسیل مرتبه ی دوم، ناهمگن با ضرایب ثابت و خطی به همین شیوه عمل می کنیم. در پاسخ عمومی باید حل معادله ی مشخصه را انجام دهیم و در پاسخ اختصاصی نیز باید تابعی مشابه تابع r را حدس بزنیم و در معادله ی دیفرانسیلی جایگذاری کنیم. مجموعه ی این روش های و تکنیک های حل مسئله را باید یاد بگیریم و با اصول فرمول های انتگرال گیری آشنا باشیم. تعدادی از فرمول های مشخص که به شما کمک خواهد کرد بتوانید مسائل دیفرانسیلی را راحتتر حل کنید در تصویر زیر آمده است.
مهمترین کاربردهای معادلات دیفرانسیل
در ادامه ی مبحث معادلات و مسائل دیفرانسیل می خواهیم به مهمترین کاربردهای آنها در زندگی و علوم مختلف را بررسی کنیم. شاید در ابتدا دانش آموزان رشته ی ریاضی بپرسند که این معادلات و حل کردن آنها به چه دردی میخورد ولی با کسب اطلاعات در زمینه رشته های تحصیلی و تخصصی مختلف می توانیم به این سوال پاسخ دهیم. بسیاری از علوم روز دنیا در حال حاضر نیاز به محاسبات ریاضی و فیزیک دقیق دارند که هرکدام براساس فرمول های متعددی بررسی می شوند. در ادامه به معرفی برخی از مهمترین کاربردهای این شاخه از علم ریاضیات می پردازیم.
شاید به خودی خود معادله های دیفرانسیل نمود عینی قابل توجهی در زندگی روزمره ما نداشته باشند ولی می توانیم از آنها در مدل سازی پدیده های مختلف در رشته های مهندسی، فیزیک، باستان شناسی، پزشکی، زیست شناسی و … استفاده کنیم. در بعضی از مسائل روزمره و تخصصی باید اتفاقات را مشتق متغیر وابسته در یک معادله در نظر بگیریم. به این معنی که نسبت به پیش بینی حوادث و همچنین تخمین اتفاقات گذشته بررسی هایی را انجام دهیم. یکی از مسائل مهم در علم پزشکی بررسی زمان دقیق فوت یک شخص می باشد که در حوزه ی جنایی مورد استفاده قرار می گیرد. زمان فوت یا کشته شدن افراد می تواند جواب بسیاری از سوالات پرونده جنایی را بدهد.
با حل برخی معادلات دیفرانسیل می توانیم تغییرات جمعیتی و رشد گونه ی جانوری را پیش بینی کنیم و به این خاطر باید قبل از به وقوع پیوستن مشکلات بعدی از به انجام رسیدن آنها جلوگیری کرد. یکی از مسائل مطرح در این زمینه معادله های دیفرانسیل شکار و شکارچی می باشد. در موارد دیگر می توانیم با پاسخ به مسائل دیفرانسیل به زمان مورد نیاز برای جذب دارو برسیم یا برخی از استراتژی های مورد توجه و مفید جهت سرمایه گذاری در بورس و بازار سهام را بدست بیاوریم. پیش بینی دیگری که می توانیم از آن بعنوان پرکاربردترین مورد در زندگی روزمره نام ببریم پیش بینی وضعیت آب و هوایی است که می توانیم با حل برخی معادله های دیفرانسیل به اطلاعات کاملی در زمینه ی تغییرات آب و هوا و پیش بینی آن دست پیدا کنیم. البته اینها تنها تعدادی از کاربردهای مهم مبحث معادلات و مسائل دیفرانسیل می باشد که نشان از گستردگی استفاده آنها در زندگی ما و علوم مختلف دارد.
کلام آخر درباره معادلات دیفرانسیل
در این مطلب با مفهوم معادله دیفرانسیل آشنا شدیم و به تاریخچه این دسته از مسائل ریاضی پرداختیم. در ادامه با برخی از انواع معادله های دیفرانسیل و روش های حل آنها به وسیله ی فرمول های انتگرال پرداختیم و با برخی از این فرمول ها بصورت کامل آشنا شدیم. مطمئنا مبحث معادلات دیفرانسیل بسیار گسترده است که کاربردهای مختلفی در زندگی روزمره و علوم متعدد دیگر دارد. برای اینکه بتوانید در حل مسائل دیفرانسیل به توانایی و تسلط کامل دست پیدا کنید پیشنهاد می کنیم از فیلم های آموزشی فرادرس در این زمینه استفاده کنید که توسط اساتید خبره و باتجربه ریاضی تهیه و تدریس شده است.
